No, there is no exception from the testing or isolation requirements for recently vaccinated persons who wish to enter Austria.
The negative test is only exempted for people who received a further dose 120 days after their complete administration (the second dose for most vaccines, or the first dose of J&J, or the first dose after a recovery).
https://www.oesterreich.gv.at/en/themen/coronavirus_in_oesterreich/pre-travel-clearance.html
From the regulations:
§ 2. (1) Nachweise über eine geringe epidemiologische Gefahr im Sinne
dieser Verordnung sind: [...]
- Impfnachweise über eine Impfung gegen COVID-19 mit einem in Anlage C angeführten Impfstoff, wenn folgende Voraussetzungen vorliegen:
a) Zweitimpfung, wobei diese nicht länger als 270 Tage zurückliegen
darf und zwischen dieser und der Erstimpfung mindestens 14 Tage
verstrichen sein müssen,
b) Ablauf von 21 Tagen seit der Impfung bei Impfstoffen, bei denen nur
eine Impfung vorgesehen ist, wobei diese nicht länger als 270 Tage
zurückliegen darf,
c) Impfung, sofern mindestens 21 Tage davor ein positiver
molekularbiologischer Test auf SARS-CoV-2 oder vor der Impfung ein
Nachweis über neutralisierende Antikörper vorlag, wobei die Impfung
nicht länger als 270 Tage zurückliegen darf, oder
d) weitere Impfung, wobei diese nicht länger als 270 Tage zurückliegen
darf und zwischen dieser und einer Impfung gemäß lit. a oder c
mindestens 120 Tage oder einer Impfung gemäß lit. b mindestens 14 Tage
verstrichen sein müssen.
§ 2.
(1) Evidences of a low epidemiological risk under this
Regulation are [...]
3. Proof of vaccination against Covid-19 with a vaccine listed in Appendix C, if the following requirements are met:
a) administration of the second dose, no more than 270 days ago, and at least 14 days must have elapsed between this and the administration of the first dose,
b) expiry of 21 days after one dose administered no more than 270 days ago in the case of vaccines for
which only one dose is scheduled
c) administration of one dose, no more than 270 days ago, provided that there was
a positive molecular biology test for SARS-CoV-2 at least 21 days prior to the administration, or evidence of
neutralizing antibodies prior to vaccination;
or
d) administration of a further dose, no more than 270 days ago and at least 120 days must have elapsed
between this and the administration of the dose according to let. a or c, or at least 14 days must have elapsed between a vaccination according to let. b.
the definitions applying to the exception
§ 9. (5) Die Verpflichtung nach dieser Verordnung, zusätzlich zu einem Impf- oder Genesungsnachweis ein negatives Testergebnis mitzuführen, gilt nicht für Personen, die über einen Nachweis gemäß § 2 Abs. 1 Z 3 lit. d verfügen.
(5) The obligation under this Regulation to have a negative test result in addition to a vaccination or recovery certificate does not apply to persons who have a certificate under sec. 2, para. 1, no. 3, let. d.